每個數學系統都會有一些陳述是永遠無法被證明的。
1931年，奧地利邏輯學家庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel）完成了堪稱史上最令人震驚的智力成就之一。
當時的數學家們正尋求為數學奠定一個堅實的基礎：一套基本數學事實，或稱公理，這些公理既要一致——永不產生矛盾——又要完備，能夠構成所有數學真理的基石。
然而，哥德爾在他25歲時發表的驚人「不完備定理」粉碎了這個夢想。他證明了，任何你可能提出的作為數學可能基礎的公理集，都必然是不完備的；總會有關於數字的真實命題，是這些公理無法證明的。他也證明了，沒有任何候選的公理集能夠證明自身的一致性。
他的不完備定理意味著，不可能存在一個「萬物之數學理論」，不可能統一可證性與真理性。數學家們能夠證明什麼，取決於他們的起始假設，而非任何能夠導出所有答案的根本真理。
自哥德爾發現以來，89年間，數學家們確實遇到了他定理預言的各種無法回答的問題。例如，哥德爾本人就曾協助確立了連續統假設（關於無限集合的大小）是不可判定問題，而計算機科學中的停機問題（判斷一個給定計算機程序在輸入隨機數據後是否會永遠運行下去或最終停止）也是如此。不可判定問題甚至出現在物理學中，這表明哥德爾式的不完備性不僅困擾著數學，還以某種難以理解的方式影響著現實。
以下是哥德爾證明其定理的簡化、非正式的概述。
哥德爾的主要策略是將關於公理系統的陳述，映射到系統內部的陳述——也就是關於數字的陳述。這種映射使得公理系統能夠有意義地談論自身。
這個過程的第一步是將任何可能的數學陳述，或一系列陳述，映射到一個獨特的數字，稱為哥德爾數。
歐內斯特·納格爾（Ernest Nagel）和詹姆斯·紐曼（James Newman）在其1958年的著作《哥德爾證明》（Gödel's Proof）中提出的哥德爾方案的略微修改版本，始於12個基本符號，作為表達基本公理集詞彙的基礎。例如，「存在」可以用符號∃表示，而加法則用+表示。重要的是，符號s，代表「後繼者」，提供了一種指定數字的方式；例如，ss0代表2。
這12個符號接著被賦予哥德爾數1到12。
接下來，代表變數的字母，從x、y、z開始，映射到大於12的質數（即13、17、19等）。
然後，這些符號和變數的任何組合——也就是任何可以構建的算術公式或公式序列——都會獲得其自身的哥德爾數。
例如，考慮公式0=0。該公式的三個符號對應的哥德爾數是6、5和6。哥德爾需要將這個三數字序列轉換為一個單一的、獨特的數字——一個沒有其他符號序列能生成的數字。為此，他取前三個質數（2、3和5），將每個質數提升到序列中相同位置符號的哥德爾數次方，然後將它們相乘。因此，0=0變成了2⁶ × 3⁵ × 5⁶，即243,000,000。
這種映射之所以有效，是因為沒有兩個公式會得到相同的哥德爾數。哥德爾數是整數，而整數只能以一種方式分解為質數。因此，243,000,000的唯一質因數分解就是2⁶ × 3⁵ × 5⁶，這意味著只有一種可能的解碼方式：公式0=0。
哥德爾進一步推進了一步。數學證明由一系列公式組成。因此，哥德爾也為每個公式序列賦予了獨特的哥德爾數。在此情況下，他像之前一樣，從質數列表開始——2、3、5等。然後，他將每個質數提升到序列中相同位置公式的哥德爾數次方（例如，如果0=0是第一個公式，則為2²⁴³⁰⁰⁰⁰⁰⁰ × …），然後將所有數字相乘。
真正的優勢在於，即使是關於算術公式的陳述，也稱為元數學陳述，本身也可以轉換為具有自身哥德爾數的公式。
首先考慮公式~(0=0)，意為「零不等於零」。這個公式顯然是錯誤的。儘管如此，它有一個哥德爾數：2的1次方（符號~的哥德爾數），乘以3的8次方（「開括號」符號的哥德爾數），依此類推，得到2¹ × 3⁸ × 5⁶ × 7⁵ × 11⁶ × 13⁹。
因為我們可以為所有公式生成哥德爾數，即使是錯誤的公式，我們也可以通過談論它們的哥德爾數來有意義地討論這些公式。
考慮陳述「公式~(0=0)的第一個符號是波浪號」。這個（正確的）關於~(0=0)的元數學陳述，可以轉換為一個關於該公式哥德爾數的陳述——即，它的第一個指數是1，這是波浪號的哥德爾數。換句話說，我們的陳述表明，2¹ × 3⁸ × 5⁶ × 7⁵ × 11⁶ × 13⁹ 只有一個因子2。如果~(0=0)以波浪號以外的任何符號開頭，其哥德爾數將至少有兩個因子2。因此，更精確地說，2是2¹ × 3⁸ × 5⁶ × 7⁵ × 11⁶ × 13⁹ 的因子，但2²不是。
我們可以將最後一句話轉換為一個精確的算術公式，我們可以使用基本符號寫下來。這個公式當然有一個哥德爾數，我們可以通過將其符號映射到質數的次方來計算它。
納格爾和紐曼寫道，這個例子「例證了哥德爾發現的核心中一個非常普遍且深刻的見解：長符號鏈的印刷屬性，可以通過談論大整數的質因數分解屬性來間接但完全準確地談論。」
對於元數學陳述「存在一個哥德爾數為x的公式序列，它證明了哥德爾數為k的公式」——簡而言之，「哥德爾數為k的公式可以被證明」——也可能轉換為符號。這種「算術化」陳述的能力為這次突破奠定了基礎。
哥德爾的額外見解是，他可以將一個公式自身的哥德爾數代入公式本身，這導致了無窮無盡的麻煩。
為了理解代換如何工作，請考慮公式(∃x)(x=sy)。它讀作「存在某個變數x是y的後繼者」，簡而言之，「y有後繼者」。像所有公式一樣，它有一個哥德爾數——一個我們稱之為m的大整數。
現在，我們將m代入公式中的y符號。這形成了一個新公式，(∃x)(x=sm)，意為「m有後繼者」。我們該如何稱呼這個公式的哥德爾數？有三條信息需要傳達：我們從哥德爾數為m的公式開始。在這個公式中，我們將m代入了y符號。根據前面介紹的映射方案，符號y的哥德爾數是17。因此，我們將新公式的哥德爾數指定為sub(m, m, 17)。
代換構成了哥德爾證明的主體。
庫爾特·哥德爾在維也納求學時。他在1931年發表了他的不完備定理，這是他畢業一年後的事。
庫爾特·哥德爾論文集，高等研究院謝爾比·懷特和利昂·利維檔案中心
他考慮了一個類似於「哥德爾數為sub(y, y, 17)的公式無法被證明」的元數學陳述。回顧我們剛學過的符號，哥德爾數為sub(y, y, 17)的公式是通過取哥德爾數為y（某個未知變數）的公式，並將該變數y代入任何哥德爾數為17的符號（即任何y）的位置而得到的。
事情變得越來越玄乎，但儘管如此，我們的元數學陳述——「哥德爾數為sub(y, y, 17)的公式無法被證明」——肯定會轉換為一個具有唯一哥德爾數的公式。我們稱之為n。
現在，進行最後一輪代換：哥德爾通過將數字n代入先前公式中的任何y位置，創建了一個新公式。他的新公式讀作：「哥德爾數為sub(n, n, 17)的公式無法被證明」。我們稱這個新公式為G。
自然地，G有一個哥德爾數。它的值是多少？瞧！它必須是sub(n, n, 17)。根據定義，sub(n, n, 17)是通過取哥德爾數為n的公式，並將n代入任何哥德爾數為17的符號的位置而得到的公式的哥德爾數。而G正是這個公式！由於質因數分解的唯一性，我們現在看到G所談論的公式正是G本身。
G斷言它自己無法被證明。
但是G可以被證明嗎？如果可以，這意味著存在一個公式序列，它證明了哥德爾數為sub(n, n, 17)的公式。但這與G相反，G說不存在這樣的證明。相反的陳述，G和~G，在一致的公理系統中不能同時為真。因此，G的真假是不可判定的。
然而，儘管G是不可判定的，但它顯然是真的。G說：「哥德爾數為sub(n, n, 17)的公式無法被證明」，而這正是我們發現的事實！由於G為真但在此公理系統中不可判定，該系統是不完備的。
你可能會認為可以提出一個額外的公理，用它來證明G，從而解決這個悖論。但你不能。哥德爾證明了，增強的公理系統將允許構造一個新的、真實的公式G'（根據類似的藍圖），而這個公式G'在新的、增強的系統中無法被證明。在追求一個完備的數學系統時，你永遠無法追上自己的尾巴。
我們了解到，如果一個公理集是一致的，那麼它就是不完備的。這就是哥德爾的第一不完備定理。第二個定理——沒有任何公理集能夠證明自身的一致性——很容易推導出來。
如果一個公理集能夠證明它永遠不會產生矛盾，那意味著什麼？這將意味著存在一個由這些公理構成的公式序列，它證明了那個在元數學上意為「該公理集是一致的」的公式。根據第一個定理，該公理集因此必然是不完備的。
但是，「該公理集是不完備的」等同於說，「存在一個真實的公式無法被證明」。這個陳述等同於我們的公式G。而我們知道公理無法證明G。
因此，哥德爾通過反證法進行了證明：如果一個公理集能夠證明自身的一致性，那麼我們就能證明G。但我們不能。因此，沒有任何公理集能夠證明自身的一致性。
哥德爾的證明終結了對一致且完備的數學系統的追求。納格爾和紐曼在1958年寫道，「不完備性的含義尚未被完全理解」。今天仍然如此。
* 對於好奇的讀者，該陳述讀作：「存在一個整數x，使得x乘以2等於2¹ × 3⁸ × 5⁶ × 7⁵ × 11⁶ × 13⁹，並且不存在任何整數x，使得x乘以4等於2¹ × 3⁸ × 5⁶ × 7⁵ × 11⁶ × 13⁹。」對應的公式是：
(∃x)(x × ss0 = sss…sss0) ⋅ ~(∃x)(x × ssss0 = sss…sss0)
其中sss…sss0代表2¹ × 3⁸ × 5⁶ × 7⁵ × 11⁶ × 13⁹個後繼符號s。符號⋅表示「和」，是基本詞彙中一個較長表達式的簡寫：p ⋅ q表示的是~(~p ∨ ~q)。[回到文章]
本文轉載自Wired.com。
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