我們都必須不斷向上修正對大型語言模型數學能力的評估。我最近就對此進行了一次相當大的修正，因為 ChatGPT 5.5 Pro，我有幸獲得了它的使用權限，它在一個小時左右的時間裡，就產出了一篇博士級研究論文，而我幾乎沒有提供任何實質性的數學指導。
背景是，正如廣泛報導的那樣，LLM 現在已經能夠解決研究級別的問題，並且已經成功解決了 Thomas Bloom 網站上列出的幾項 Erdős 問題。起初，人們還可以一笑置之：許多「解決方案」只是 LLM 發現問題的答案已經存在於文獻中，或者可以從已知結果中輕鬆推導出來。但漸漸地，笑聲也越來越小。我從其他更深入參與這項事業的數學家那裡得到的信息是，LLM 已經發展到這樣的程度：如果一個問題有一個簡單的論證，但由於某種原因人類數學家卻錯過了（這種原因有時，但並不總是，是因為問題沒有受到足夠的關注），那麼 LLM 很可能會發現它。反之，對於那些你第一反應是 LLM 提出了一個巧妙論證而感到印象深刻的問題，仔細檢查後往往會發現這些論證已有先例，所以仍然可以安慰自己 LLM 只是將現有知識組合起來，而不是真正原創的想法。我在此不討論這能帶來多少安慰，僅指出許多非常優秀的人類數學工作也包括將現有知識和證明技巧組合起來。
我決定嘗試一些稍微不同的方法。至少在組合學領域，有相當多的論文研究一些相對較新的組合參數，這些參數自然會引出幾個問題。由於可以提出的問題數量龐大，這類論文的作者不一定有時間花一兩週時間思考每一個問題，因此至少有一些問題可能並不那麼難。這使得這類論文對於初次進行研究的數學家來說非常有價值，他們會因為解決了一個官方上未解決的問題而受到極大的鼓舞。或者說，它們過去曾有這樣的價值，但現在門檻似乎已經提高了。僅僅有人提出問題已經不夠了：問題必須足夠難，以至於 LLM 無法解決。
總之，大約一週前，我決定看看 ChatGPT 5.5 Pro 在處理 Mel Nathanson 在題為「加法數論問題的多樣性、公平性和包容性」的論文中提出的一系列問題時表現如何。Nathanson 在關注後來變得極其流行的問題和定理方面有著非凡的記錄，這使他撰寫了一系列非常及時且因此極具影響力的教科書。在這篇論文中，他論證了幾個其他問題的趣味性，其中一些我現在將簡要介紹。
如果 A 是一個整數集合，那麼它的和集定義為 A+A = {a+b | a, b ∈ A}。對於正整數 k，k 重和集 Ak，記為 kA，定義為 kA = {a1 + ... + ak | ai ∈ A}。Nathanson 感興趣的是在給定 |A| 的情況下，kA 的可能大小。為此，可以定義一個集合 S 為所有滿足以下條件的 k 的集合：存在一個集合 A 使得 |A| = n 且 |kA| = k。
一個明顯的第一個問題是「|kA| 是什麼？」當 k=2 時，答案是介於 2n-1 和 n^2 之間的整數集合。可以很容易地證明，如果 |A| = n，那麼 |A+A| ≥ 2n-1，所以這個結果說明了所有介於最小值和最大值之間的尺寸都可以實現。然而，一般來說，A+A 不能取介於其最小和最大可能性之間的所有尺寸，我們目前沒有對 |kA| 的完整描述。
另一個可以提出的自然問題，這也是 ChatGPT 發揮作用的地方，是如果你想要一個具有 n 個元素的集合且和集大小為 k，你需要多大的直徑？（當然，|kA| 的大小必須屬於 S）。Nathanson 證明了對於每一個 n，都存在一個子集 A ⊆ {1, ..., n} 使得 |A| = n 且 |A+A| ≤ 2n-1，並詢問是否可以改進這個界限。ChatGPT 5.5 Pro 思考了 17 分鐘 5 秒後，提供了一個構造，產生了一個二次上界，這顯然是最佳的。它以一種略顯冗長的 LLM 風格寫下了它的論證，所以我問它是否能以典型的數學預印本風格將論證寫成 LaTeX 文件。兩分鐘 23 秒後，它給了我那個文件，之後我花了一些時間說服自己這個論證是正確的。
Nathanson 的論證和 ChatGPT 的基本思想是，為了獲得一個具有給定大小的集合和給定大小的和集，最好將其構建為一個 Sidon 集（即和集大小最大化的集合，這不是嚴格的定義，但在這次討論中最簡單），以及一個等差數列。此外，為了進行一些微調，可以添加一個靠近等差數列的額外點。然後，如果你玩弄各種參數，你會發現可以獲得所有你想要的尺寸的集合。Nathanson 並沒有這樣表達他的論證（這是他論文的定理 5），而是給出了一個歸納論證，但我認為，在沒有仔細檢查的情況下，如果解開他的論證，你會發現實際上他最終得到了這個結果，而這裡的 Sidon 集是由 2 的冪構成的。ChatGPT 通過使用一個更有效的 Sidon 集來獲得改進——眾所周知，可以找到具有二次直徑的 Sidon 集。（你可能會問為什麼 Nathanson 最初沒有這樣做：我認為這是因為使用更有效的 Sidon 集這個顯而易見的想法，只有在你重新描述了他的歸納構造之後才會變得明顯。ChatGPT 是這樣做的嗎？很難說。）
接下來，我問 ChatGPT 是否能對一個密切相關的問題做同樣的事情，即不關注和集的大小，而是關注受限和集的大小，定義為 |A+A| = {a+b | a, b ∈ A, a ≠ b}。不出所料，它毫不費力地做到了。我讓它將這兩個結果寫在一篇筆記中，以避免一些重複。如果你好奇，可以在這裡看到這篇筆記。
然後我問它對於一般的 k 能做什麼。我對它能做出任何有趣的事情的期望要低得多，因為 k=2 的證明基本利用了這樣一個事實（由 Erdős 和 Szemerédi 證明）：我們確切地知道需要創建哪些尺寸。如果我們不知道這個集合是什麼，那麼我們似乎被迫從一個假設的集合開始，該集合具有 |A|=n 和 |A+A|=k，並從中構建一個具有相同屬性的小直徑集合。事實上，我仍然不知道如何克服這個困難（我提到這一點只是為了證明我的數學輸入為零，我甚至沒有在提示中做任何巧妙的事情），但 Nathanson 在他的論文中提到了 Isaac Rajagopal 的一篇非凡論文，他是一名 MIT 的學生，他一定以某種方式克服了這個困難，因為他設法證明了對於每個固定的 k，k 之間的指數依賴性。
我將保留上一段，但 Isaac 後來向我解釋說，這並不是真正的困難。他的論證給出了當 n 足夠大時的完整描述，如果我們想證明對於固定的 k 的多項式依賴性，那麼假設 n 足夠大顯然是允許的。真正的困難在於，構建具有給定和集大小的集合要複雜得多，而且必然如此，因為多項式的次數隨 k 增長，因此需要越來越多的參數來定義集合。
總之，ChatGPT 面臨的任務不是從頭開始解決問題，而是看看是否有可能收緊 Isaac Rajagopal 的論證。以下是發生的情況。
Isaac 對於 ChatGPT 貢獻的額外想法的性質提出了一些非常有趣的評論。由於我已經說過，我的數學輸入為零，我邀請他為這篇文章寫一個客座部分。就在那之前，我想提出一個問題（毫無疑問其他人也提出過），這個問題很簡單：我們應該如何處理這類內容？如果結果是由人類數學家產生的，它絕對是可以發表的，所以我認為將其描述為 AI 的垃圾是錯誤的。另一方面，即使考慮將其發表在期刊上也毫無意義，因為它可以免費提供，而且沒有人需要為此「歸功」（除了 Isaac 應得的許多歸功於他創建了 ChatGPT 可以在其上構建的框架）。我理解 arXiv 有一項禁止接受 AI 生成內容的政策，這對我來說很有道理。所以也許應該有一個不同的儲存庫，供 AI 生成的結果存放。但是，需要做出各種決定來如何組織它。我個人認為，可能需要某種審核流程，以便只有當一位人類數學家準備證明其正確性——或者更好的是，它已經被證明助手形式化——並且可能還回答了人類撰寫的論文中提出的問題時，才能包含結果。另一方面，我不希望審核流程產生大量工作（除非工作本身由 AI 完成，但走這條路有明顯的危險）。總之，在這些問題得到解答之前，這個結果可以從上面的鏈接中獲得，而且，也許現在 LLM 在文獻檢索方面做得如此之好，這足以讓任何想知道 Nathanson 的問題是否已得到解決的人都能找到它。
通過幾個提示，ChatGPT 能夠將 |A+A| 的上界從 k 的指數級提高到 k 的多項式級。雖然它第一次改進界限，從 k 的指數級提高到 k 的指數級，是我工作的常規修改，但提高到 k 的多項式級則相當令人印象深刻。為此，ChatGPT 提出了一個原創且巧妙的想法。這是我經過一兩週的思考後會非常自豪能夠提出的想法，而 ChatGPT 在不到一個小時的時間裡就找到了並證明了它，使用了與我自己的證明類似的方法。我的目標是以一種對我的計算機科學專業的朋友和數學專業的朋友都能理解的方式來解釋這個想法。
限制 |A+A| 的問題與我在 Duluth REU（本科生研究項目）期間研究的一個問題密切相關，即確定 R(2,k)。特別是，R(2,k) 是可能的多重和集大小的集合，其中 n 可以選擇為任何整數集合。R(2,k) 是最小的 k，使得我們可以使用 n 個元素的集合來實現所有值。我花了整個夏天明確地描述了對於大的 n 的集合，通過構建集合 A 使得 |A|=n 且 |A+A| 達到所有我無法排除為不可能的值。因此，R(2,k) 可以通過優化我的構造來進行上界估計。
我通過組合更小的、更容易分析的組件集合來構建這些集合。其中一些組件是幾何級數
對於各種 m 和 s 的值。
不幸的是，A 和 B 的元素對於 n 來說是指數級大的。所以，我問 ChatGPT（通過 Tim），是否存在 n 個元素的集合，它們的和集大小與這些幾何級數相似，但只包含 n 的多項式大小的數字：我不知道這是否可能，也不知道如何開始構建這樣的集合。ChatGPT 給出了答案，構建了集合 A 和 B，它們的行為就像「被壓縮到多項式區間內的一半幾何級數」，這令人難以置信。在我討論 A 和 B 的構造之前，我將解釋它們的和集大小的重要性質，它們所重現的性質。
對於 k ≥ 2，如果一個集合 A 滿足
其中 a_i ∈ A，則只有「平凡」解，這意味著方程的一邊是另一邊的重新排序。如果 A 是 n 個元素的集合，那麼 A+A 的元素恰好對應於從 A 中選擇 n 個元素的組合，允許重複。使用「星星和條」方法，可以看出 |A+A| ≤ n(n+1)/2，這是 n 個元素集合的最大可能值。因此，另一個定義是，如果 |A+A| = |A|(|A|+1)/2，則 A 是一個最大和集。
為了更具體，我們假設在 (1) 中。那麼，A 是最大和集，但它不是一個最大和集，因為對於任何選擇的 i, j ∈ {1, ..., n}，都有
特別是，|A+A| = 2n-1，因為這些關係是阻止 A 成為最大和集的唯一因素。A 缺乏 (2) 中的關係，因為 2 ∈ A。
因此，A 是最大和集，但它不是一個最大和集，因為對於任何選擇的 i, j ∈ {1, ..., n}，都有
這給出了 n(n-1)/2 個關係，可以檢查出 |A+A| = n + n(n-1)/2 = n(n+1)/2。總之，我們看到
ChatGPT 能夠找到 n 個元素的集合 A 和 B，它們滿足 (a)-(d)，但它們的元素都具有 n 的多項式大小。A 和 B 的構造使用了 k-解離集，這是一種集合，其中只有「平凡」解，即 x_i = y_j 且一邊是另一邊的重新排序。
對於 k ≥ 2，可以構造一個 k-解離集 A，其中 |A| 約為 n，特別是 n 的多項式。這類集合的構造使用有限域，可以追溯到 Singer (1938) 和 Bose–Chowla (1963)，並在附錄 1 中進行了描述。定義
事後看來，我對 A 和 B 的構造有很好的直覺。 (2) 和 (3) 中的所有關係都是通過組合一兩個形式為 x_i + x_j = y_k 的關係形成的。在 A 和 B 中大約有 O(n^2) 個形式為 x_i + x_j = y_k 的關係，在 A 和 B 中大約有 O(n^3) 個這樣的關係。在 A 和 B 中還有很少其他低階關係，同樣在 A 和 B 中也是如此，因為 A 是 k-解離的。
現在我們看到為什麼 (a)-(d) 在用 A 和 B 分別替換 A 和 B 後仍然成立。為了具體起見，我們假設 A 和 B 是最大和集，所以 A 不包含 (4) 中的非平凡關係，其中 x_i, y_j ∈ A。那麼，A 是最大和集，但它不是一個最大和集，因為對於任何選擇的 i, j ∈ {1, ..., n}，都有
如果我們令 A' = {a + c | a ∈ A}，其中 c 是某個常數，我們可以檢查出 |A'+A'| 是關於 n 線性的。特別是，(a) 和 (b) 在用 A' 替換 A，並用線性函數替換常數函數後成立。我們也可以看到 A' 是最大和集，但它不是一個最大和集，因為對於任何 i ∈ {1, ..., n}，都有
如果我們令 A'' = {a + c | a ∈ A'}，其中 c 是某個常數，我們可以檢查出 |A''+A''| 是關於 n 的二次函數。類似地，(c) 和 (d) 在用 A'' 替換 A，並用二次函數替換常數函數後成立。
儘管我可以回顧性地解釋它，但 ChatGPT 使用 k-解離集來控制最多 k 階的關係的想法確實很巧妙。就我所知，這個想法是完全原創的。
ChatGPT 證明其構造產生所需的 |A+A| 值的方式與我證明我構造的集合達到所有可能值的 |A+A| 的方式非常相似，只是將 A 和 B 分別替換為 A 和 B。屬性 (a)-(d) 捕捉了 A 和 B（或 A 和 B）的許多重要屬性，這些屬性在此證明中使用。最終的構造涉及將 A 和 B（或我論文中的 A 和 B）與另一個集合組合起來，該集合是等差數列和一個點的並集。直觀地說，A 和 B（或 A 和 B）具有大的和集，而等差數列具有小的和集，因此通過組合它們可以獲得具有所有中等大小和集的集合是可信的。然而，這方面的證明相當複雜，它佔據了我論文的第 4 部分和整個 ChatGPT 的預印本。
在附錄 2 中，我詳細計算了 ChatGPT 的構造，以表明對於足夠大的 n，
作為比較，很容易看出 |A+A| 至少在 O(n^2) 的數量級，而真實值未知。在附錄 3 中，我提供了我論文和 ChatGPT 預印本之間對應關係的細節，這對想閱讀其中任何一篇的人都有幫助。
最後，我想對 Tim 允許我為這個博客做出貢獻表示我最深的感謝。我仍然對他選擇將問題放入 ChatGPT 5.5 Pro 並因此找到我 arXiv 上的論文的巧合感到震驚。
我會將 ChatGPT 在不到兩個小時內找到的結果的水平評定為組合學博士論文中一個完全合理的章節。它不會被認為是一個驚人的結果，因為它非常依賴於 Isaac 的想法，但它無疑是對這些想法的一個非平凡的擴展，對於一個博士生來說，要找到這個擴展，需要花費相當多的時間來消化 Isaac 的論文，尋找可能不夠優化的部分，熟悉他使用的各種代數技術等等。
在我看來，培訓初級博士生進行研究，這一直很困難（除非像我經常遇到的那樣幸運，有一個學生似乎就是懂，因此在任何意義上都不需要培訓），現在變得更加困難了，因為幫助某人入門的一個明顯方法是給他們一個看起來相對溫和的問題。如果 LLM 已經發展到可以解決「溫和問題」的程度，那麼這就不再是一個選項了。為數學做出貢獻的最低門檻現在將是證明 LLM 無法證明的事情，而不是簡單地證明到目前為止沒有人證明過並且至少有人覺得有趣的事情。
不過，我會用兩種方式限定這個說法。首先，有一個明顯的觀點是，初級博士生有使用 LLM 的選擇。因此，任務可能比證明 LLM 無法證明的事情更容易：它是在與 LLM 合作證明 LLM 無法單獨完成的事情。我最近做了很多這樣的合作，發現 LLM 在（尚未）產生顛覆性想法的情況下做出了有用的貢獻。
第二點是，我不知道我所說的有多少可以推廣到數學的其他領域。組合學往往非常關注問題：你從一個問題開始，然後從問題反推，或者如果你向前推理，也是非常關注問題的。在其他領域，可能更強調向前推理：你從一個想法圈開始，看看它會導向何處。要成功做到這一點，你需要某種方法來區分有趣和無趣的觀察，而我並不清楚 LLM 在這方面會是什麼樣子。
當然，我所說的一切都與目前的 LLM 有關。但它們發展得如此之快，以至於幾乎可以肯定我的評論將在幾個月內過時。幾乎可以肯定的是，這些發展將對我們進行數學研究的方式，特別是我們如何向新來者介紹它，產生深遠的顛覆性影響。明年秋季開始攻讀博士學位的人，最早也要到 2029 年才能畢業，我猜到那時，進行數學研究的意義將會發生翻天覆地的變化。
我偶爾會收到一些對進行數學研究感興趣但又不確定這是否仍然是一個有意義的目標的人的電子郵件。我對這個問題有我的看法，但很可能會隨著進一步的發展而改變。我的看法是，在數學問題上掙扎仍然非常有價值，但你可能享受你的名字永遠與某個定理或定義聯繫在一起的時代可能即將結束。所以，如果你的數學目標是獲得某種意義上的不朽，那麼你應該明白，這可能不會持續太久——不僅對你而言，對任何人而言都是如此。這裡有一個思想實驗：假設一位數學家通過與 LLM 的長時間交流解決了一個重大問題，其中數學家起到了有用的指導作用，但 LLM 做了所有的技術工作並提出了主要想法。我們會認為這是這位數學家的一項重大成就嗎？我認為我們不會。
那麼，努力解決一個困難的數學問題的意義是什麼？一種回答是，即使答案已經為人所知，解決一個問題仍然非常有成就感，但我認為這不足以花費你幾年的生命來從事這項特殊的活動。一個更好的答案是，通過解決難題，你可以深入了解問題解決過程本身，至少在你專業領域內，這是你僅僅閱讀別人的解決方案所無法獲得的。一個後果是，那些自己解決過難題的人，可能在利用 AI 輔助解決問題方面會顯得更優秀，就像非常優秀的編碼員比不太優秀的編碼員更擅長編碼一樣，或者那些對基本算術有紮實掌握的人，在使用計算器時（尤其是在注意到答案感覺不對時）可能會更熟練。數學是一項高度可轉移的技能，這也適用於研究級別的數學。通過進行數學研究，你可能無法獲得與上一代人相同的回報，但很有可能你將為我們即將面臨的世界裝備好自己。
我們將構造一個 k-解離集 A，其中 |A| 約為 n。這個構造是 Bose–Chowla (1963) 構造一個集合的變體，我從這篇論文中了解到。無論出於何種原因，GPT 的預印本（引理 3.1）使用了另一種效率較低的構造，使用了矩曲線。
令 p 為一個素數，令 q = p^m，令 F_q 為具有 q 個元素的有限域，並固定一個生成器 g，使得 F_q^* = {g^i | 0 ≤ i < q-1}。定義一個元素集合
然後，每個元素對應於一個唯一的 i 值，通過取 log_g(x)。現在，形式為 x_i + x_j = x_k 的加法關係，其中 x_i, x_j, x_k ∈ A，可以通過取 g 的冪來重新表述為
由於 F_{q^m} 是 F_p 的一個 m 次擴張，並且 g 是 F_{q^m} 作為 F_p 的一個擴張的生成器，這意味著 x 不滿足 F_p[x] 中任何次數為 m 的非零多項式。因此，(6) 的兩邊在 F_p[x] 中是相同的多項式，因此 (4) 中的加法關係是平凡的。所以，A 是 k-解離的，當然可以刪除一些元素以將 |A| 減小到 n。
固定常數 c1 和 c2 使得 (在我的論文中，我任意選擇 c1 = 1, c2 = 2)。令 (5) 中的兩個集合分別稱為 A 和 B。令 S(A) 表示滿足以下條件的整數的集合：
類似於我的論文，這樣的構造使得 |A+A| 達到所需大小的目的是組合以下四種類型的集合：
這個構造之所以需要複雜，是因為我們需要創建至少 n 個集合。為此，我們改變域中的參數 m 和 s，以及域中的參數 c1 和 c2。我們可以選擇 m 比 n 稍大，然後上述構造給我們不同的集合，其中 |A+A| 可以任意小。因此，如果我們從構造中移除任何上述參數，而不改變其他參數，這個構造將不再創建多個集合。相比之下，Nathanson 的構造在只需要創建 n 個集合時，他通過組合一個 Sidon 集、一個等差數列和一個額外的點來實現這一點，並改變等差數列和額外點的大小在大小為 n 的範圍內。
我們希望組合集合 A_m,s，由以下方式給出：
對於 m 的值，對於 s 的值，以及一個集合 C。根據附錄 1，對於所有 m ≥ 2，存在一個直徑為 O(m) 的 k-解離集 A_m。根據 A 和 B 的構造，我們可以取每個 A_{m,s}，其中 s ∈ {1, ..., m}。令 B_m 為基向量。
通過組合 A_{m,s}，我們可以定義
類似於我的引理 4.9，這個構造確保了生成函數乘積成立，這是我的論文和 GPT 預印本都使用的恆等式（請參閱任一論文以獲取這些生成函數的定義）。根據 GPT 預印本的（標準）引理 2.3，A 是 Freiman 同構於 F_{q^m} 的子集。因此，對於足夠大的 n（整個構造基於此，原因與我的論文相同），
在我的論文的第 4.2 節中，我使用了一個不同、更簡單的構造來構建達到 |A+A| 值的集合，這些集合具有 |A| = n，對於某些小的 k，|A+A| = O(n^k)。這些集合是 {1, ..., n^k} 的子集，這意味著所有元素的大小都是 n 的多項式。這在 GPT 預印本的第 5 節中得到了觀察。
第 4.3 節描述了組合許多組件（包括 A 和 B）的構造。這對應於 GPT 預印本的第 2、3、4 和 6 部分。這一部分有很多活動部件；我在第 4.3.1 節中概述了它。
在第 4.3.2 節中，我描述了如何組合不同的組件，使用我稱為不相交並集的構造，並引入生成函數作為記賬工具來跟踪集合的和集大小。這對應於 GPT 預印本的第 2 和第 4 部分。
在第 4.3.3 節中，我計算了每個組件集合的生成函數，包括 A（引理 4.15）和 B（引理 4.17）。這對應於第 3 和第 6.1 部分。特別是，A 的生成函數在引理 3.3 中計算，B 的生成函數在引理 3.4 中計算。一旦計算了這些生成函數，證明的其餘部分在我論文和 GPT 預印本中幾乎相同。
在第 4.3.4 節中，我將所有部分組合起來，以證明當我們遍歷我構造的集合時，|A+A| 的值將會涵蓋所有可能的元素。關鍵思想是證明所有 |A+A| 值的集合形成一個區間，並且包含小於和等於 n 的數字。
Tim，在 Terry Tao 最近在斯坦福未來數學研討會上的演講中，他也建議也許我們應該為 AI 生成的數學和人類數學設立不同的場所，並將其類比為高速公路與人行道：https://www.youtube.com/live/tN4hsT5t0nw?si=cIQj2Di6sNdZHr7P&t=6330
非常有趣的帖子，回顧 2029 年時會很有趣。關於你的一些觀點，有一句著名的意大利諺語（但並不那麼有名以至於 ChatGPT 知道是誰說的）：「Chi meglio combina meglio crea。」字面意思是「誰結合得更好，誰就創造得更好。」我個人認為人類智力或洞察力沒有什麼「特別」之處，正如你所建議的，我認為數學（以及文學等）中的許多結果都是「平庸」的，因為它們基本上是已知思想的組合；它們可以通過單調地嘗試一個接一個的「顯而易見」的想法來獲得。論文（在數學領域）經常被寫成（演講也被給出）給人一種作者非凡且無法解釋的「神來之筆」的印象，但在許多（大多數）情況下，這些想法可以以更為嚴謹的方式呈現（我認為你表達了類似的觀點，即想法總是有來源的，除了 Razborov 的 ;-）。LLM 顯然擅長這種組合。我個人認為沒有人清楚他們在多大程度上能夠在沒有指導的情況下產生我們人類感興趣的研究或藝術。我對各種情況持開放態度。顯然，能夠利用這些工具已經是一個關鍵因素。但到目前為止，在高層次上，這與 Google 或數學軟件沒有太大區別。快速在線搜索或使用數學軟件的能力一直是一個關鍵優勢。我還要補充一點，我經常想知道如何定義「平庸」。在某些意義上，柯爾莫哥洛夫複雜性似乎是相關的，如果一個事物在給定可用數據的情況下有一個簡短的描述，那麼它是平庸的。時間受限的柯爾莫哥洛夫複雜性是一個更好的想法。一個問題是如何捕捉「可用數據」。訓練有素的 LLM 似乎正是提供了這一點。
如何最好地向初級博士生介紹在 LLM 時代的研究這個問題，非常重要，值得思考。我想強調的是，雖然理論上這些學生可以選擇使用 LLM，但頂級模型目前獲取成本相當高，而且各公司內部也有只有少數人才能使用的模型。如果走「博士生也被允許使用 LLM」的路線，那麼很快就會變成「哪個學生能獲得最好的 LLM」的遊戲，這在我看來是非常不幸的。這是一個可以在全球範圍內解決的問題嗎？
抱歉，我沒意識到這是匿名的！祝好，Olof (Sisask)
這引出了一個非常重要的問題，不僅對博士生，而且對所有研究人員都相關。到目前為止，與大多數其他科學不同，進行研究級別的數學研究，擁有昂貴的資源幾乎沒有優勢（當然，除了事先獲得良好教育之外）。現在情況已經改變了。我不知道未來會發生什麼，但此刻，從共產主義意義上的平等時代，在研究數學領域已經悲慘地結束了。
快速評論一下，我正在處理 LaTeX 的下标和上標的惱人編譯問題，這影響了 Isaac 的附錄。我會盡快解決，但如果有人知道該怎麼辦，將不勝感激。
我的標準是要求 AI（特別是 ChatGPT）：將你的發現/證明寫成 tex 文件，同時輸出為 pdf。這可以安全地工作。
我總是使用 Luca Trevisan 的腳本將 LaTeX 文件轉換為友好的 wordpress.com HTML 文件（https://lucatrevisan.wordpress.com/latex-to-wordpress/）。不過這有一些限制，因為 wordpress.com 的 LaTeX 缺少一些包。另一個選擇是為 wordpress.com 安裝一個 LaTeX 插件（我沒有使用任何），因為通常這些插件允許使用其他 LaTeX 包。
幫助某人入門的一個明顯方法是給他們一個看起來相對溫和的問題。如果 LLM 已經發展到可以解決「溫和問題」的程度，那麼這就不再是一個選項了。
我看不出這有什麼必然聯繫。如果學生想學習，並且作為導師的你建議這樣做，他們將會避免為這樣的練習使用 LLM。這不會產生像以前那樣「同樣原創/可發表」的結果，但原則上應該和 LLM 不存在時一樣具有教育意義。這似乎與過去學生避免向你尋求同一問題的詳細幫助沒有太大區別。
這裡有一個思想實驗：假設一位數學家通過與 LLM 的長時間交流解決了一個重大問題，其中數學家起到了有用的指導作用，但 LLM 做了所有的技術工作並提出了主要想法。我們會認為這是這位數學家的一項重大成就嗎？我認為我們不會。
我認為這取決於這種指導是否也是一個重要的貢獻。這有時很難判斷。但如果這個問題一直是開放且有趣的，並且 LLM 在一段時間內普遍可用，這將是支持這一觀點的證據。這似乎與一位合著者在合作工作中扮演重要指導角色的情況類似。
我對此的看法非常悲觀。事情的發展方式是，思考和擁有深刻想法的價值似乎越來越低。即使在 AI 出現之前，機構也質疑數學研究是否值得。我現在不建議任何人開始攻讀純數學博士學位。
> 我現在不建議任何人開始攻讀純數學博士學位。
我看得更積極一些，但年輕的候選人需要一個思想開放的導師，以及全力使用 AI 系統的勇氣。——很可能，數學系應該為博士項目安裝新的程序。
你寫道：「我理解 arXiv 有一項禁止接受 AI 生成內容的政策，這對我來說很有道理。所以也許應該有一個不同的儲存庫，供 AI 生成的結果存放。」你可能會發現 https://arxiv.org/abs/2604.16476 是朝這個方向邁出的一步。
這很令人難過，但數學確實處於一個更廣泛現象的最前沿。我們將會看到大多數智力上令人滿足的活動都會面臨類似的問題。
尊敬的教授，恕我直言，如果這個 Chatgpt 模型是我偶爾諮詢的（免費）模型的某種進化結果，那將是驚人的；它今天告訴我，當我提交一個非常簡短的來源，基本的算術，並要求評估結論時，「結論未經證明，因為，有條件地，CRT 集的結果可能小於嚴格正的基數殘差集之一」，並且在受到質疑時堅持己見；來源是阿基米德障礙的證明，該障礙阻止將某些除數 th2 添加到單例 CRT 集下某些除數 th1，這是一個候選的「非 Brauer Manin 障礙」（Katherine Stange）；我發現了一種方法，至少在 6 個案例中糾正了（免費）LLM 對歸謬論證的誤處理，但不是 Chatgpt 的；如果你有時間/興趣將來源用於這個 5.5 Pro 版本，我的電子郵件地址已註冊；此致，Davide
通常，使用不同的 AI 以乒乓模式進行交互很有幫助：AI 1 認為自己證明了某事。讓它以 tex 文件輸出。這成為 AI 2 的輸入，提示為：「仔細檢查此證明是否正確。列出所有錯誤、漏洞和弱點。以 tex 文件輸出。」如果此反饋聲稱發現了錯誤或漏洞，請要求 AI 2 修復，或將其答案文件返回給 AI 1，詢問：「這是對你證明嘗試的反饋……」這在我的研究中經常奏效。
antilli 說：2026 年 5 月 9 日晚上 11:51 是的：我首先讓一個 LLM 闡述了它的反對意見，代理 1；然後在不同的瀏覽器中打開與同一個 LLM 的聊天，代理 2，並粘貼了相同的來源；我將代理 2 的反對意見複製到代理 1，要求反駁，將其複製到代理 2，依此類推，直到代理 1 引導代理 2 完成一個（非常簡單的）歸謬論證；然後我讓代理 1 編寫了一個 LLM 指南，強制閱讀，其說明是預期已知的 LLM 傾向；從大約 3 個獨立的 LLM 平台收集的反對意見足以讓 6 個獨立的 LLM 保持正軌，即至少有兩個沒有參與「諮詢過程」；練習是測試「以賊制賊」，即設置一個confabulator/hallucinator 來預防同行的代理的confabulations/hallucinations，從而中和 LLM 工作中無用的方面，讓有用的方面佔據主導地位；這只是一個非常小的測試，但至少是一個令人滿意的測試；這似乎與你的經歷非常相似。
你不需要問 Gowers 他是否可以將來源用於這個 5.5 Pro 版本，正如你所說的那樣。你可以在 https://chatgpt.com/ 上自己訪問它，點擊「選擇模型」下拉菜單。你首先需要支付 200 美元。
啊哈，支付 200 美元給「帶來了」我們「有條件地，如果我們有互質的 t1, t2，則 t1^2 - t2*x 的絕對值可能為零」的人。
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[... ] https://gowers.wordpress.com/2026/05/08/a-recent-experience-with-chatgpt-5-5-pro/ [... ]
我認為你在「可以很容易地證明」後面一定有拼寫錯誤，因為它讀起來像是「如果 |A| = k，那麼 2k-1 <= |A|...」，這甚至不是一個正確的陳述，更不用說一個簡單的練習了...
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我發現與這些模型互動的經歷相當令人沮喪，儘管我只試圖讓它解決我最喜歡的問題或給我新的解決方案思路。我發現自己要麼在過濾無稽之談，要麼興奮地嘗試它的一個想法，結果卻很失望，因為這個想法要么是微不足道的，要么是毫無希望的。
如果這就是數學研究的未來——無休止地試圖從 LLM 的輸出中篩選出有意義的東西——我真的不期待。
為什麼你能獲得 ChatGPT 5.5 Pro 的訪問權限，而其他人卻不能？
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你好！我是一個數字恐懼者，我的朋友發了這篇文章，我跳過了數學部分，但絕對明白了這篇文章的主要信息，所以你做得很好。
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[... ] 知名菲爾茲獎得主、數學家 Timothy Gowers 日前在其個人部落格發表了一篇文章《A recent experience with ChatGPT 5.5 Pro》，引起不少關注和討論。他表示，在幾乎沒有人類數學提示的情況下，ChatGPT 5.5 Pro 僅用了短短一小時左右，就產出了一份達到博士生研究水準的數學證明。 [... ]
「我的看法是，事情的發展方式是，思考和擁有深刻想法的價值似乎越來越低。」
思考和擁有深刻想法的價值來自何處？我們現在需要思考這個問題。如果它主要來自稀缺性——即擁有某些想法的難度——那麼當想法的製造可以自動化時，這種價值確實可能會急劇下降。但如果價值來自想法的效用——即想法帶來的益處——那麼情況就不同了：也許創造更多的好想法實際上更好，而不是更糟。在這裡，我使用的「效用」是一個廣泛的意義，而不僅僅是人們通常所說的应用數學的意義。
換句話說，數學家可能需要適應從稀缺經濟轉向富足經濟的轉變。
在一個食物生產廉價的社會裡，人們仍然會因為製作美味的食物而獲得報酬。
也許數學家需要更加關注說服人們，他們的工作不僅困難，而且是好的。如果它確實是好的，它的價值主要不是來自於困難。然後，再向前看一步，也許我們應該思考 AI 在說服人們相信它創造的數學確實是好的方面有多大能力。當 AI 在這方面比人類做得更好時，這又是我們不需要數學家的另一件事了。但到那時，我們可能在想，我們到底需要人類做什麼。（主要是人類需要人類。）
我同意價值來自效用。然而，我認為純數學的價值來自於組織、抽象和提煉各種應用數學（和其他純數學）的過程。
這是一條很長的路線，作為一個純粹的數學家，你能為你的工作提供的唯一理由是指向下一位從事稍微不那麼抽象的事情的人，說「我的研究很有用，因為那件事很有用」。我認為這條路線也反過來，人們會從更高的層次上研究這些想法是如何組織的，參與這些問題（如果你已經在這條線上足夠高，這些問題的美麗可能才會顯現）。
主要問題是，這條路線最終會到達那些從事實際應用數學（各種工程、統計、編碼、金融）的人，那裡的技術問題不需要最美麗的抽象和深刻的見解。如果 AI 足夠好以自動化這一點，那麼在某個時候，實際價值產生部分的很大一部分將是多餘的，你將無處可指。
現在回到「在一個食物生產廉價的社會裡，人們仍然會因為製作美味的食物而獲得報酬。」
你建議轉向，將數學提升為一種藝術形式。然而，藝術需要觀眾。吃一頓精緻的食物或看一幅畫並不難，每個人都可以做到，並欣賞其中的一部分。
但如果整條路線的一部分被侵蝕，誰會關注數學並欣賞它的美呢？我估計我的文章的閱讀量不到 200 次，實際閱讀並可能欣賞實際內容的人可能不到 10 人。即使它們包含一個令人難以置信的美麗想法，我也會因為這些讀者和他們的捐款而難以維持生計。
但到那時，我們可能在想，我們到底需要人類做什麼。（主要是人類需要人類。）
你在讀你寫的東西嗎？你真的在讀你寫的東西嗎？還是你假裝完全從純粹理性的立場行事？
這與「讓我們給窮人做腦葉切除術」有什麼不同？
當然，我所說的一切都與目前的 LLM 有關。但它們發展得如此之快，以至於幾乎可以肯定我的評論將在幾個月內過時。幾乎可以肯定的是，這些發展將對我們進行數學研究的方式，特別是我們如何向新來者介紹它，產生深遠的顛覆性影響。
LLM 真的在快速發展嗎？LLM 的發展是否完全失控是一件好事嗎？這些問題沒有得到解決，我們卻被期望不問這些問題。這對你來說非常令人惱火。讓我們從炒作中放鬆一下。
可以很容易地證明，如果
LLM 不僅能解決，還能提出值得關注的新數學問題嗎？這可能是一個有趣的研究。
根據我的經驗，（GPT 5.5 Pro）有好有壞。主要問題是，該模型似乎對（在當前理論下）「可解」的前沿位於何處的理解有些模糊。我試圖對 Erdos 問題進行排序，看看它是否能夠「預測」哪些問題是可解的，或者最終接近被解決，並取得相對成功。然後，當要求例如使用 Deep Research 重新評估問題時，這個預測或「難度分數」可能會急劇上升或下降。由於它沒有定義的內部標準/「表示」這個前沿，所以在創建新問題時，它們通常很容易或微不足道地可解，或者太強大，超出了理論的技術範圍。更長的提示和用戶的數學知識（包括趨勢和重要性）可以通過與 LLM「合作」來幫助定義一個好的前沿問題，但我還沒有一次性從 LLM 那裡得到一個新的有趣問題。
有趣。在你爭論 LLM 是否真正智能的同時，我構建了一個確定性執行框架，無論底層推理機制如何，都能強制輸出一致的結果。問題不在於它是否是「真實」的智能。問題在於你是否能夠工程化可靠的結果。如果你想超越概率輸出，進入結構控制，這裡就是系統：
https://www.skool.com/trans-sentient-intelligence-8186/about?ref=8aeedb072d4b4d7fb98cc2238610f2f4
[... ] 來源：ChatGPT 5.5 Pro 的最新體驗 [... ]
[... ] 對於已移除 Google 服務的 Android 用戶來說，信任和訪問越來越通過平台身份來調節。ChatGPT 5.5 Pro 的最新體驗。高級用戶現在通過工作流程可靠性對模型進行基準測試，而不是演示質量。使用 Claude [... ]
[... ] 來源：Gowers [... ]
[... ] 網站：gowers.wordpress.com HN 評論：[... ]
與 gpt 5.4/5.5 pro 共同創作的無限孿生質數的 lean+paper
https://github.com/alegator-cs/infinite_twin_primes
謝謝，我喜歡閱讀你對與 ChatGPT 互動的總結。我真希望更多的數學家能這樣做。
思考 R(2,k) 對我來說很有趣：我知道 2k-1 的最小值是通過餘集的餘集來實現的，但我沒想到每個介於最小值 2k-1 和 2-多子集數量的顯然最大值之間的數值都能實現。我想我通過問「如果這是真的，那麼我們如何得到 k^(3/2)？」學到了一些東西。我提出的構造是 {1,..., r}, {2^s ,2^(s+1), ..., 2^(s+t-1) } 其中 2^s 大於 2r；然後通過考慮數字的二進制表示，很容易看出 |A + A| = 2r-1 + rt + t^2，並且通過取 t = sqrt(r)，我們得到 |A| ≈ r 和 |A+A| ≈ r^(3/2)。仔細閱讀後，我看到這與我論文中的一些風格相似。