Stack Exchange 網絡包含184個問答社群，其中包括最大且最受信賴的開發者社群 Stack Overflow，供開發者學習、分享知識並發展職涯。
我必須先道歉，因為這不是本網站常見的問題類型，但過去 MathOverflow 曾對本科生提出類似問題時給予極大幫助與善意，近來我越來越擔憂這個問題，因此覺得必須提出來。
我的問題是：像我這樣的人，能為數學做出什麼貢獻？
我覺得數學是由像高斯和歐拉這樣的人創造的——雖然我們可以學習並理解他們的工作，但僅僅這樣並不會創造出新的東西。或許可以用現代語言和符號重寫他們的著作，或引導他人學習，但我從未認為這是數學家的重要工作；真正重要的是創造原創數學。考慮到有許多非常聰明的人在努力研究數學，似乎已經沒有什麼留給像我這樣沒有特殊天賦的人去做的了。或許我的價值只是像炮灰一樣？因為只要派出足夠多的人，總會突破某些障礙。
我不想多說，但我真的很想找到這個問題的答案——無論是來自經驗、人物傳記或其他任何地方。
你不需要為數學本身做出貢獻。問題更深層：你如何通過追求數學來為人類，甚至為世界的福祉做出貢獻？這個問題無法純粹用理智回答，因為我們行動的影響遠超我們理解。我們是深具社會性和本能的動物，我們的福祉依賴於許多難以用理智解釋的行為。因此，你最好跟隨你的心和熱情。單靠理性很可能會誤入歧途。沒有人足夠聰明和智慧能純理智地解答這個問題。
數學的產物是清晰與理解，而非定理本身。例如，費馬大定理或龐加萊猜想這些著名結果真的有什麼實質意義嗎？它們的重要性不在於具體陳述，而在於挑戰我們的理解，提出挑戰促使數學發展，增進我們的理解。
世界並不缺乏清晰與理解（委婉說）。具體數學如何以及是否能改善世界（無論那是什麼意義）通常難以釐清，但整體來說數學極其重要。
我認為數學有很大一部分是心理學，因為它強烈依賴人類思維。去人性化的數學會更像電腦程式碼，截然不同。數學思想，即使是簡單的，也常難以從一個人傳達到另一個人。許多數學概念難以理解，但一旦理解就很容易。因而數學理解並非單調增長，我們的理解也會退化。退化的原因有幾個：專家退休、逝世或轉向其他領域而遺忘；數學通常以符號和具體形式解釋和記錄，這些形式易於傳達，但不易理解；從概念到具體符號的轉換比反向容易，符號形式往往取代了概念理解；數學慣例和既定知識會變化，舊文獻可能變難理解。
簡言之，數學只存在於活躍的數學家社群中，這個社群傳播理解並賦予新舊思想生命。數學的真正樂趣在於向他人學習並與他人分享。我們每個人對少數事物有清晰理解，對更多事物概念模糊。想法永遠不會枯竭。誰是第一個踏上某塊土地的人其實次要。革命性變革重要，但革命少且不自持——它們極度依賴數學家社群。
我曾有幸與已故理論物理學家費曼討論類似問題。他告訴我：「你持續學習，很快就會學到沒有人學過的東西。」這是他的建議；我的建議？勇敢嘗試！
你不必成為籃球界的喬丹才能打籃球。
我欣賞原提問者的問題，但我認為「重寫他們的著作或引導他人學習並非數學家重要工作，重要的是創造原創數學」這觀點是一種普遍誤解。也許90%的數學工作不是原創，而是消化、重組累積的洞見，並以有用方式呈現給他人（這代和下一代）。這是一項龐大且令人滿足的創造性工作，會帶來新洞見、理解主要洞見的後果及其基礎。
其中一部分是：教學與寫作。良好的闡述可能是「普通人」最重要的貢獻（我們的集體生計可能也依賴此——Rota在《Indiscrete Thoughts》中有深刻見解）。你甚至可以在本科階段開始：一旦理解某事，與他人分享。在當地數學社團做個好報告。傳承下去！
陶哲軒也寫過相關主題，我想你會喜歡他的結論。摘錄如下：
「有趣的數學研究領域和問題數量龐大，遠超所謂『最佳』數學家能詳盡涵蓋的範圍，有時你擁有的工具或想法會發現其他優秀數學家忽略的東西，尤其是即使是最偉大的數學家在某些研究方面仍有弱點。只要你有教育背景、興趣和合理的天賦，就會有數學領域你能做出穩固且有用的貢獻。」
費馬的座右銘是「Multi pertransibunt et augebitur scientia」（許多人將通過，知識將增長）。他也曾談及「將火炬傳給下一代」，我覺得這特別美好。
「當國王建築時，車夫有活可做。」克羅內克在1891年9月寫給康托爾的信中引用此話。
現在是新年凌晨12:40，也許不是寫 MO 回答的最佳時機，但我很喜歡大家對這問題的鼓勵回答。（順帶一提，@Lubin：跟你學代數和代數數論很激勵人心。）總之，我對原提問者的建議是多學習，努力解決你感興趣的問題。別太擔心是否證明了突破性定理，只要盡力理解你最感興趣的數學部分。（「理解」當然是深入核心，弄清真相，盡可能證明。）也別擔心你不會解決所有問題（甚至多數問題），也別擔心永遠無法完全理解問題；這就是為什麼總有更多值得探究的地方。十年或二十年後回頭看，你會發現自己確實為人類數學知識做出貢獻。
即使在做研究時，也很難判斷自己成果的重要性。我覺得困難在於，經過一兩年努力並取得足夠進展寫出論文後，你對問題理解太深，能證明的似乎微不足道，未完成的又顯得無望。所以我說「等十年或二十年」可能有點過，但確實值得等幾年再評價自己的工作。
祝 MO 的大家新年快樂。
我不太有資格回答這問題……或者說我有，因為我不是陶哲軒！我認為我們帶給數學的是我們獨特的個人經驗視角。越多人嘗試做數學越好，因為這增加了解決眾多問題的多元視角。此外，正如常說，數學要做的事遠超任何少數強者能完成。這是一個「大帳篷」。
我讀過有人描述柯爾莫哥洛夫和以色列·格爾凡的差異：「柯爾莫哥洛夫進入新數學領域時會立刻找最高山攀登，格爾凡進入同一領域時會立刻開始修路。」（有人請補充這引言出處，我記得是在 Notices）
有人說，我們大多數數學工作是整理和清理，為未來的博學者如馮·諾依曼鋪路，有些修路者建了令人難以置信的道路。（塞爾曾說他大部分生涯都在重寫別人的工作？）
我不知你怎麼想，但我很滿意這樣！總比我的名字出現在太空梭某未知電路板的晶體管位置上好……當然那也沒什麼不好！
總之，別擔心沒事可做……有的是！
另一種思考這個午夜問題的方式是，問問自己哪些較小的成果對你重要或有趣，然後感謝那些發現或發明它們的數學家。我猜每個人都能列出一長串非高斯、歐拉等級的數學家成果。我自己的清單很長，其中一些成果甚至是 MO 用戶最近發現的。
我喜歡炮灰比喻——讓我笑了！我有時也這麼想自己。不過，內心深處我喜歡相信自己比想像中聰明。如果我堅持下去，也許能挖掘出隱藏的洞見。還有，記得《傳道書》裡的話：
「我轉念觀看日光之下，賽跑的未必是跑得最快的，爭戰的未必是勇士，智慧人的未必得糧食，聰明人的未必得財富，技藝人的未必蒙恩寵，聰明數學家的定理未必多得；惟有時機和機會臨到他們眾人。」
好吧，關於數學家的定理那句可能不是原文，但你懂我的意思 :-)
如果你是本科生，你還不知道自己能為數學做什麼貢獻，尤其不知道自己是否能創造原創數學，或能做到什麼程度。幸運的是，你不必完全靠自己摸索；如果繼續攻讀數學研究所，你會有指導教授，幫助你發揮潛力。即使博士畢業後，你也不孤單；現今許多最佳數學工作是合作完成的，你的弱點可以由合作者的強項彌補（你也用你的強項彌補他們的弱點）。
我在 G. H. Hardy 的《數學家的自白》結尾段落中找到很大安慰：
「我生命的理由，或任何以我相同意義成為數學家的人，是：我為知識增添了些東西，並幫助他人增添更多；這些東西的價值只在程度上不同，而非本質上不同，與偉大數學家或其他藝術家留下的紀念相同。」
數學需要創造者、解說者、綜合者、應用者、教師、學習者，甚至需要以社會可接受方式傳教者。如果你想要接近不朽的名聲，解決極難問題或創造既解決又提出難題的東西。如果你想成為偉大的數學貢獻者，就盡你心力做上述事情。
你想為數學做什麼？
Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman，2010年10月27日
Muad，你提出了一個非常重要且頗具謎團的問題。我13年前完成數學碩士後離開數學，這些年我發現自己無法入睡，因為腦中總想著純數學中要發現或發明的新事物。數字一直纏繞著我。我對相對論數學著迷，也熱愛數論。我試圖找到合適主題做原創研究，但最終放棄，轉向完全不同的領域。我開了一家名為 e=mc^2 的餐廳，但仍睡不好。經營成功的熱門餐廳近4年後，我決定轉向電腦圖形學，這也是我的另一個熱情，因為我也熱衷美術和詩歌。畢業於溫哥華電影學校後，我現在是視覺特效工作室的電腦圖形技術總監，每天更親密地與數學打交道。我的自傳式廢話重點是：只要你有正確動機且足夠好奇，你就有東西可發現。我的夜晚依然無眠，因為我還沒找到要發現的東西！所以我認為數學就在你體內，等待被發現，只要你夠熱情！！
我猜大多數有趣的數學結果會引出更多問題而非解決問題，所以你不必擔心。
@muad：你說自己數學不強。我不知道是否真如此，但為討論起見，假設你無法做數學發現。
你可以考慮為數學寫軟體。例如 TeXmacs 項目。我會很感激你能學習 Scheme 程式語言，並在從 TeXmacs 匯出到 LaTeX 時，編寫正確的 LaTeX 巨集創建程式。
你喜歡我提出的你能做的事嗎？
我考慮自己花時間做這事，但這會偷走我寶貴的數學時間。
這是個好問題。有時你需要聽從直覺，而非他人意見。一般來說，問數學家這類問題，他們會給你留下繼續做數學、值得做、你貢獻重要等理由。但問非數學家，答案可能完全不同。在我看來，大多數非數學家認為當代數學研究大多浪費時間。我自己也厭倦了向外行推銷我的研究領域（大約是數論）——總是那幾個「應用」被拿出來說。或許問題在於數學被視為值得追求的自我目的，但實際上這追求與各種低層次誘因糾纏在一起。金錢、權力、名聲，應有盡有。我認為這是非常糟糕的組合。為了心靈健康，最好以完全脫離這些低層誘因的方式追求有價值的事物。
只要你有動力，就盡力而為。數學讓人很快意識到有比你更聰明的人，這是事實（至少對大多數人如此）。但數學創造力有時超越純粹智力。
擁有數學學位，我們能獨特地翻譯歐拉、高斯、懷爾斯、Andrew Ng、Dijkstra、Paul Erdős、Robert Tarjan 等人的作品，並向教室或外行人解釋數學真正是什麼。他們一生認為數學只是加減乘除。所以當你說你是數學家，他們說「我討厭數學」，他們其實不討厭數學研究，而是討厭他們被教導的算術。但我們有能力展示數學不只是那樣。
其次，我同意費曼的話。我們的知識是我們學到的東西。我們學到的東西是我們感興趣的東西。你的興趣可能與我不同。但如果你上學期學了拓撲學，而我學理論計算機科學，這不代表任何一門課不好。但如果我們都在解決同一問題，我們會有不同的武器庫和思考過程。
最後，我想說數學是關於證明，這是無法迴避的。但我也認為學習編程是寶貴資產，能幫助你做數學。你可以測試小案例，驗證證明背後的直覺。還有 Lean 和 Coq 等形式化工具幫助驗證正式證明。這對「翻譯」像 Dijkstra 和 Tarjan 的工作也很有價值。
通過提問找到你問題的答案。
參見相關標籤的類似問題。