親手計算離散傅立葉轉換 (DFT)：簡化複雜數學為矩陣乘法

本文旨在透過親手計算的方式，將複雜的離散傅立葉轉換（DFT）概念簡化為一系列矩陣乘法。作者透過範例展示，即使是看似艱深的數學公式，其底層原理亦可透過手算理解，並藉此說明深度學習模型為何能有效處理和分析訊號。文章比較了學習式濾波器（如 U-Net）與固定轉換（如 DFT）的差異，並以具體訊號為例，說明如何利用 DFT 從時域轉換至頻域，以找出訊號的權重。

值得注意將複雜的數學概念簡化為可親手計算的範例，有助於理解深度學習的基礎，實用性高。

在訊號處理中，離散傅立葉轉換（DFT）無疑是最重要的方法。但其涉及的數學極其複雜，字面上涉及對複數項 e^(-iwt) 的求和，其中 e 是歐拉數，i 是虛數單位，w 是角頻率，t 是時間。

我開發了這個練習，旨在證明在這種複雜性之下，DFT 僅僅是一系列你可以親手計算的矩陣乘法。一旦你理解了這一點，就不會驚訝於深度神經網路，它也是一系列矩陣乘法，中間夾雜著激活函數，能夠如此有效地學習執行 DFT 來處理和分析訊號。

💡 學到的 vs. 固定：U-Net 從資料中學習其濾波器，以在空間域處理訊號。DFT 是經典的對比，是一種手動設計而非學習的固定轉換，它在頻率域將相同的訊號視為餘弦波的組合。

在 🟧 頻域中的訊號 A、B 和 C：

每個訊號都是在頻率 1w、2w、3w 和 4w 的四個餘弦波的加權總和。

我們將應用逆 DFT 將訊號轉換為時域表示，然後證明 DFT 可以轉換回它們原始的頻域表示。

在 🟩 時域中的訊號 X。X 在 10 個時間點 1t、2t、…、10t 進行取樣：

X = [-2.5, -1.8, 3, -0.7, -1.0, -0.7, 3, -1.8, -2.5, 5]

假設 X 也是相同四個餘弦波的加權總和，但我們不知道它們的權重。我們將應用 DFT 來找出它們。

將 A、B、C 的係數寫成一個矩陣 F。每個訊號是一列。每個頻率是一欄。

在離散時間點 1t、2t、3t 到 10t 對連續餘弦波進行取樣。