鳥類能看見周遭環境的大部分區域，但牠們在成群飛行時，只會留意身旁或前方的同伴，而不會調整與後方鳥類的動作。這種行為似乎與牛頓第三運動定律——「作用力與反作用力」原則——相衝突，該定律常被簡化為「每一個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力」。
這個原理在日常生活中很容易觀察到。當我們跑步時，腳會推動地面，地面也會以相等的力量反作用於我們的腳。同樣的道理也解釋了汽車如何移動、人們如何划船，以及氣球為何會在空氣從開口逸出時向前噴射。
三百多年來，牛頓第三運動定律一直是古典物理學的基石之一。
研究團隊領導者 Marín Bukov 解釋說：「我們通常教導學生的理論力學，最終都建立在作用力與反作用力原則之上。」
鳥群並非唯一看似違反這項規則的系統。細菌的成群游動、人群的聚集，甚至生物組織中的細胞群體，都表現出類似的行為。在這些系統中，個別組成部分只對其環境的一部分做出反應，而非對周遭的一切做出反應。結果是，互動只朝一個方向進行，意味著作用力與反作用力不再平衡。
物理學家將這種現象稱為「非互易互動」。傳統理論是為「互易互動」設計的，在互易互動中，作用力與反作用力是相等的。由於這個限制，科學家們一直難以準確模擬非互易系統。更精確的模擬對於理解生物過程、人群行為以及動物的集體運動至關重要。
在德勒斯登工作的研究人員與物理學家 Roderich Moessner 合作，現已為這個長久以來存在的問題開發出解決方案。Moessner 是 Würzburg-Dresden Cluster of Excellence ctd.qmat（量子物質的複雜性、拓撲與動力學）的首席研究員，也是德勒斯登複雜系統物理研究所 Max Planck Institute 的所長。
模擬非互易系統的新方法
Bukov 表示：「研究團隊開發並驗證了一項理論，該理論能將我們教導學生的許多知識應用於非互易系統。這些牛頓第三運動定律不適用的系統，現在終於可以被精確描述和模擬——甚至可以使用現有方法。這正是近年來所缺乏的工具。」
研究人員透過擴展傳統的作用力與反作用力框架來達成此目標。他們的方法允許使用許多與普通互易系統相同的工具來研究非互易系統。關鍵在於引入額外的虛擬變數。
物理學家通常使用與真實屬性相對應的數學變數來描述自然系統，例如鳥類的位置和速度、魚群中的位置，或車流中的汽車位置。
Bukov 的同事、生物物理學家 Ricard Alert 解釋說：「新理論的巧妙之處在於，它為系統的每個組成部分構建了一個夥伴——一個自然界中不存在的虛構夥伴。原有的非互易互動被替換為與這些輔助自由度的互易互動。」
這個想法在實踐中是什麼樣子？
Alert 說：「為了精確模擬鳥類的運動，我們使用現有方法來描述『鳥群』這個動力學系統——就好像它是一個互易系統一樣，儘管它並非如此。巧妙的解決方案是，在每隻真實的鳥前面，人為地放置一隻虛擬的鳥，其方向與真實的鳥完全相反。」
這些虛擬的夥伴並不代表實際的鳥類。相反，它們是數學工具，讓研究人員能夠將單向互動轉化為可以使用現有方法進行分析的形式。
為物理學研究帶來新可能性
在物理學中使用輔助自由度並非新概念。新穎之處在於它們現在如何應用於具有非互易互動的系統。
這種方法使科學家能夠利用許多體物理學的成熟框架，同時也能產生更精確的複雜系統模擬。同樣重要的是，它提供了對底層物理學更深入的理解。這種理解往往為未來的發現奠定基礎。
Moessner 說：「在 Würzburg 和 Dresden，我們研究量子物質，其粒子在特定條件下會以產生磁性或無損耗電流傳輸等新現象的方式進行互動。令人興奮的問題是，這些牛頓定律的例外是否會導致全新的集體量子行為形式。我們對此仍然知之甚少——而這正是它如此迷人的原因。」
該團隊的研究成果發表在《Nature Physics》期刊上。