「十九世紀的數學經歷了一場如此深刻的變革，以至於稱之為數學的第二次誕生也不為過——其第一次誕生發生在古希臘時代……」
我最近參加了一場由Convergent Research支持的創新科學與技術新創公司會議，該組織負責管理非營利組織Lean FRO，該組織開發Lean定理證明器。會議旨在激發討論，當我自我介紹為數學家時，許多參與者熱切討論近期人工智慧事件對數學的影響及數學界的反應。他們驚訝地聽到我認為數學社群在像這樣的部落格和Proofs and Prompts上的回應語氣普遍正面且鼓舞人心，儘管我們都認識到日常專業生活的基本面將不可避免地改變。這些討論幫助我形成了想在此分享的一些想法。
對數學家的工作有一種狹隘的看法，體現在我們的日常工作流程中：我們嘗試解決問題，當困難問題過於艱難時，我們會製造較簡單的近似問題，解決它們，然後調整參數。過去幾個月的事件打破了這種做法，因為一年前能夠發表的結果現在可以輕易借助人工智慧生成。這讓我們擔憂未來從事數學工作意味著什麼，以及如何培養和支持下一代數學家去做這些工作。
數學的歷史為我們提供了更廣闊的視野。儘管經歷了數世紀的變遷，數學作為嚴謹推理與溝通的文化依然穩定，為我們提供了語言和抽象概念，使我們能更可靠且有效地思考和交流。即使在人工智慧時代，這種推理仍然重要。許多人認為數學具有美感，這並不減損其實用性，反而是其原因：我認為數學帶來的愉悅感來自於它鍛鍊了對我們物種生存至關重要的能力，這些能力已深植於我們的DNA中。如果這是正確的，數學思維短期內不會消失。
挑戰在於，當我們讓人工智慧完成工作時，解決數十年來一直解決的問題類型會與提升數學理解的目標脫鉤。因此，問題不在於我們是否仍需要數學，而是如何在人工智慧時代追求數學理解。我將提供三個一般性回答。
當今基礎模型有兩個顯著特點：首先，它們已閱讀了整個數學文獻；其次，它們不知疲倦；一群代理人可以通過嘗試無數變化來找到解決方案。這解釋了為何我們看到的人工智慧生成的開放問題解決方案具有相似特徵：這些問題是人工智慧能通過拼湊現有技術解決的。（我感謝Matthew Ballard的這一描述及後續分析。）
每個有趣的數學問題都能以此方式解答嗎？可能不行，即使能解答的問題，也可能有更有趣且令人滿意的解法，涉及新穎的想法和洞見。或許在不久的將來，人工智慧系統能提出這些洞見，但至少目前還未達到。強化學習訓練機制讓系統串聯傳統動作，並從失敗與成功的歷史中學習哪些動作在特定狀態下最有前景。行動價值僅以最終路徑成功與否評定，促成超人般的聰明才智，但可能忽略創造力和更高層次的策略思考。無論如何，仍有艱難問題待解決和雄心勃勃的研究計畫待推進，且有人工智慧協助取得進展的可能令人振奮。
如果數學只是外星人強加給我們的問題清單，一連串無止境的練習和考試，我們的現狀將更加令人沮喪。好消息是，當我們做數學時，我們可以選擇問題、評分解答，並偏好我們最喜歡的。我們決定什麼對我們有趣，追求哪些問題，以及為何如此。我們的命運掌握在自己手中。
我們在數學中最欽佩的事物常常似乎憑空出現。1853年，年輕的Bernhard Riemann向導師Carl Friedrich Gauss提交三個潛在主題，供其選擇作為Habilitationsvortrag（晉升講座）的題目，該講座是他在哥廷根大學獲得教職的必要條件。據說Gauss選擇了Riemann準備最少的主題，看看他會怎麼處理。該講座《論幾何基礎的假設》於1868年死後發表，徹底改變了該領域。講座區分了空間的度量性質與拓撲性質，並引入了流形的一般概念，儘管後者直到二十世紀才獲得完全嚴謹的處理。對空間內在性質的關注——在黎曼幾何中，是由度量決定且獨立於嵌入更大空間——成為數十年後愛因斯坦廣義相對論的關鍵。黎曼幾何的應用遠超黎曼本人想像，涵蓋機器人學、醫學影像到統計分析。
William Ewald的優秀資料集《從康德到希爾伯特》對該論文做了精彩介紹，並引用Felix Klein對該工作的描述：
「[黎曼講座]發表時正值我開始獨立研究數學問題之際。我仍清晰記得黎曼思路對當時年輕數學家的非凡影響。許多內容對我們而言晦澀難懂，卻深不可測，而現代數學家從一開始就將這些融入思維模式，只欣賞其清晰與豐富的闡述。」
對年輕的Klein而言晦澀神秘的內容，現已成為經典，基礎模型也透過訓練吸收並內化了這些內容，正如年輕數學家一樣。我再次感謝Ballard提出此例，並指出沒有任何強化學習設置能評估黎曼的決策：其益處分散且難以追蹤，時間跨度過長。
無數數學發展亦是如此，開啟了新視野，如Galois在代數方程可解性研究中聚焦置換群，Poincaré對動力系統的定性研究，或Grothendieck的深遠概念創新。人工智慧最終能否做出類似進展？這甚至不是正確的問題。告訴我們某人工智慧代理產出它及其他代理認為高度有趣的定理，對我們毫無幫助。我們只關心結果對我們是否有趣且重要，最終由我們決定其意義。數學發展的價值嵌入於我們的歷史與文化中。
想像計畫去阿拉斯加荒野背包旅行以鍛鍊和娛樂。你可能樂於讓人工智慧幫你訂機票，但不會讓人工智慧替你徒步並傳送照片。在數學中，所關乎的不是娛樂，而是我們對推理與思考的主導權。無論人工智慧能否思考，它無法替我們思考。我們有自己的生活要過；數學是我們的故事，由我們決定如何講述。借助人工智慧，有更多可探索的領域，發現之路不會短缺。
迄今為止，我著重於利用人工智慧幫助我們做過去做的事，但別忘了技術本身也提出新問題，我們還有很多要學習如何有效使用它們。我在另一篇文章（將刊登於美國數學學會通訊）中主張，數學家應積極參與理解這些技術的運作，並創造性地利用它們做出新數學。
人工智慧改變數學的意義並非前所未有。十七世紀使用代數方法解決幾何問題是一項新技術，並非人人喜歡；然而我們掌握了新技術並學會有效運用。十九世紀的無窮小量、代數結構，二十世紀初的集合論抽象與結構語言，以及近代的數值與符號計算亦是如此。這些新事物初現時都讓人感到陌生和不安。我們應視投入時間和精力讓證明助手與神經網絡協助發現新數學的人為真正的數學家，而非僅是技術員。在人工智慧時代，開發符號自動化或訓練神經網絡，對數學的貢獻不亞於手動串聯推理證明定理。
我聽過有人主張隨著就業市場萎縮，我們應內向保留傳統數學技能。相反，我認為積極接觸新技術並學會利用它們提升推理與發現新數學的能力，將使學科保持強大。擴大我們對數學的視野，是擴展這一職業並保持其相關性的最佳途徑。
我對未來的樂觀看法和輕率建議去解決更難問題、思考更大思想、嘗試新事物，對感覺腳下土地動搖的學生和早期研究者幫助不大。我的話並非貶低前方挑戰或暗示有簡單應對之道。數學系、社群領袖、教育者、專業學會和期刊委員會正舉行緊急會議，盡力提出具體建議並採取適當行動。我們的工作艱鉅。
儘管不確定性存在，我們可以向下一代數學家傳達明確訊息。首先，我們支持你們。沒有什麼比學科的健康與強大更重要，確保你們能茁壯成長。我們謙卑地認識到自身經驗與專業有限，過去認為理所當然的事物不再有效。我們致力與你們合作，盡力維護這一職業並保持其強大。
其次，數學今天依然重要，我們需要你們。人工智慧絕不能取代我們集體的推理與思考能力，數學仍是其中核心能力。我們無法想像沒有數學在生活中扮演重要角色的世界。
最後，未來幾年將極為有趣。我們正處於新前沿，社群的規範、價值觀和期望開始瓦解，取而代之的是什麼由我們共同決定。我相信未來的歷史學家會將此刻視為數學新時代的開始，並評估我們行動與決策的後果。數學從未是膽小者的遊戲；這是我們挺身而出、共同面對挑戰的機會。
