賓州大學的研究人員提出了一種利用人工智慧解決數學中最艱鉅挑戰之一的新方法：逆偏微分方程（Inverse PDEs）。這些方程對於理解複雜系統至關重要，但求解它們長期以來一直挑戰著數學和計算的極限。
該團隊的解決方案稱為「Mollifier Layers」，它透過改進過程背後的數學原理，而非僅僅增加運算能力，來提升人工智慧處理這些問題的方式。這種方法可能具有廣泛的應用，從解讀基因活動到改善天氣預測。
「解決一個逆問題，就像看著池塘中的漣漪，然後回溯去弄清楚是哪裡來的鵝卵石掉進去一樣，」材料科學與工程學（MSE）的Eduardo D. Glandt講座教授兼該研究的資深作者Vivek Shenoy表示。該研究發表在《機器學習研究匯刊》（TMLR）上，並將在神經資訊處理系統會議（NeurIPS 2026）上發表。「你可以清楚地看到結果，但真正的挑戰在於推斷隱藏的原因。」
研究人員沒有依賴更強大的硬體，而是專注於改進底層數學。「現代人工智慧的進展，往往是透過擴大規模的計算來實現的，」MSE的博士候選人、該研究的共同第一作者Vinayak Vinayak說。「但有些科學挑戰需要更好的數學，而不僅僅是更多的計算。」
微分方程是科學建模的基礎。它們描述了系統如何隨時間變化，無論是人口增長、熱流還是化學反應。
偏微分方程進一步擴展了這個概念，捕捉了系統如何在空間和時間上發展。科學家們利用它們來研究從天氣模式到熱量如何在材料中傳播，甚至DNA如何在細胞內組織的一切。
逆偏微分方程更進一步。它們不是根據已知規則預測結果，而是讓科學家能夠從觀察到的數據開始，回溯以揭示驅動這些觀察的隱藏力量。
「多年來，我們一直使用這些方程來研究染色質——DNA在細胞核內的摺疊狀態——如何在活細胞內自我組織，」Shenoy說。「但我們一直遇到同一個問題：我們可以觀察到結構並模擬其形成，但我們無法可靠地推斷驅動這個系統的表觀遺傳過程，即有助於控制哪些基因活躍的化學變化。我們越是試圖優化現有方法，就越清楚地表明數學本身需要改變。」
重新思考AI如何處理複雜數學
這些方程背後的一個關鍵概念是微分，它衡量事物如何變化。簡單的導數顯示某物增加或減少的速度，而高階導數則捕捉更複雜的模式。
傳統上，AI系統使用一種稱為遞歸自動微分的過程來計算這些導數。這種方法在數據通過神經網路（現代AI的基礎）時重複計算變化。
然而，這種方法在處理複雜系統和嘈雜數據時會遇到困難。它可能變得不穩定並需要巨大的計算資源。
研究人員將其比作不斷放大一條粗糙、鋸齒狀的線。每一步都會放大缺陷，使最終結果更不可靠。為了克服這一點，團隊意識到他們需要一種在分析數據之前平滑數據的方法。
Mollifier Layers 提供更聰明的解決方案
答案來自數學家Kurt Otto Friedrichs在20世紀40年代引入的一個概念，他描述了「mollifiers」，這是用於平滑不規則或嘈雜函數的工具。
透過調整這個想法，研究人員在AI模型中創建了一個「mollifier layer」。這個層在計算變化之前對輸入數據進行平滑處理，避免了傳統方法造成的ર不穩定性。
「我們最初假設問題與神經網路的架構有關，」該論文的另一位共同第一作者、賓州大學工程學院科學計算碩士項目畢業生Ananyae Kumar Bhartari說。「但是，在仔細調整網路後，我們最終意識到瓶頸是遞歸自動微分本身。」
結果令人矚目。新方法減少了雜訊，並顯著降低了求解這些方程所需的計算成本。
實施一個「mollifier layer」，在測量信號之前對其進行平滑處理，極大地減輕了雜訊和功耗的擴展。「這使我們能夠更可靠地求解這些方程，而無需相同的計算負擔，」Bhartari說。
解鎖DNA組織的秘密
這種方法最有希望的應用之一在於理解染色質，即細胞內DNA和蛋白質的複雜結構。
這些結構在極小的尺度上運行，但它們在決定基因如何開啟或關閉方面起著重要作用。
「這些區域的大小僅為100奈米，」Shenoy說。「但由於可及性決定了基因表達，而基因表達又決定了細胞的身份、功能、衰老和疾病，因此這些區域在生物學和健康中起著關鍵作用。」
透過估計控制基因活性的表觀遺傳反應速率，新的AI方法可以幫助科學家們超越單純觀察染色質，預測其隨時間的變化。
「如果我們能夠追蹤這些反應速率在衰老、癌症或發育過程中如何演變，」Vinayak補充說，「這就為新的療法創造了潛力：如果反應速率控制著染色質組織和細胞命運，那麼改變這些速率就可以將細胞重定向到所需的狀態。」
超越生物學：廣泛的科學影響
Mollifier Layers 的潛在用途遠遠超出了遺傳學。材料研究和流體動力學等許多科學領域都涉及複雜的方程和嘈雜的數據。
這個新框架可以提供一種更穩定、更有效的方式來揭示各種系統中的隱藏參數。
研究人員認為這是邁向一個更大目標的一步：將觀察轉化為更深入的理解。
「最終，目標是從觀察複雜模式轉變為定量地揭示產生這些模式的規則，」Shenoy說。「如果你理解了支配一個系統的規則，你現在就有改變它的可能性。」
