給初入學的研究生建議，或「什麼是研究？」—— 研究生的四個「R」：閱讀、計算、研究與寫作
2001年8月29日。更新於2002年8月28日。Manuel Blum
閱讀、學習、思考、開始攻讀博士學位、深入博士學位中期、寫下所有內容。你
閱讀：書籍不是捲軸。捲軸必須像妥拉一樣從頭讀到尾。書籍是隨機存取的——這是相較於捲軸的一大創新。善加利用這項創新！不必覺得有義務從頭到尾讀完一本書。允許自己打開一本書，從任何地方開始閱讀。對於數學、物理或任何特別困難的內容，試著找出任何你能理解的東西。讀你能讀的。在頁邊空白處寫字。（你知道這有多麼有用。）下次你再翻閱這本書時，你就能讀更多內容。你可以透過這種方式逐漸學會極其困難的事情。
考慮在閱讀時同時寫下你所讀的內容。如果你打算閱讀困難的內容，這一點尤其重要。
我記得麻省理工學院的一位數學教授，名叫 BERTRAM KOSTANT，他總是在辦公室時敞開辦公室的門，並且總是在書桌前寫字。寫字。總是在寫字。他是在寫他的研究嗎？也許。寫下他的想法？也許。我個人認為他是在閱讀，並寫下他所讀的內容。至少對我來說，寫下我所讀的內容是學習困難材料中最令人愉快且最有益的方式之一。
學習：你們都是計算機科學家。你們知道有限自動機（FINITE AUTOMATA）能做什麼。你們知道圖靈機（TURING MACHINES）能做什麼。例如，有限自動機可以加法但不能乘法。圖靈機可以計算任何可計算的函數。圖靈機比有限自動機強大得多。然而，FA 和 TM 之間唯一的區別是，TM 擁有紙和筆，而 FA 沒有。想想看。這告訴你一些關於寫作力量的事情。沒有寫作，你就被限制為有限自動機。有了寫作，你就擁有了圖靈機的非凡力量。
思考：CLAUDE SHANNON 曾告訴我，他小時候，記得被一個拼圖卡住了。他哥哥路過，對他說：「你知道嗎：我可以告訴你一些事。」他哥哥只說了這麼多。但這就足以提示 Claude 解決了拼圖。這個提示的絕妙之處在於……你總是可以給自己這個提示！！！我建議你，當你被一個難題卡住時，想像一隻小鳥或一個年長的自己低語著「……我可以告訴你一些事……」
我曾問 UMESH VAZIRANI，他在麻省理工學院讀本科時，如何能夠每學期都修讀 6 門課程。他說他知道自己沒有時間用艱難的方式解決問題。他必須找到捷徑。你看，Umesh 明白問題通常有簡潔巧妙的解決方案。
總會有那麼一個時候，你長時間且艱難地研究一個問題但卻不成功 :( 然後你發現別人找到了解決方案。將此視為學習重要知識的絕佳機會。不要讓它溜走。問問自己：「我應該如何思考才能解決這個問題？」我發現這樣做是一種強大的練習。Danny Sleator 告訴我，BOB FLOYD 也獨立地向他的學生推薦了這個練習。他會引導他們問自己：「我怎麼才能引導自己得出那個答案？」花時間仔細思考。這是值得的。
總會有那麼一個時候，你長時間且艱難地研究一個問題並且成功了 :) 然後你發現別人已經發表了。:( 儘管這對你來說可能很難接受，但你必須將此也視為一個絕佳的機會。不要關閉。閱讀已發表的文件。
你會驚訝地發現，已發表的論文在某些重要方面經常與你的不同。大約 50% 的情況下，它與你所做的完全不同。25% 的情況下，它相同但不如你的好。25% 的情況下，它更好。
這意味著 50% 或更多的時間，你仍然可以發表。
那麼，在 25% 的情況下，已發表的文件比你自己的更好呢？在這種情況下，你有一個絕佳的學習機會。問問自己：「我應該如何思考才能以這種精妙的方式解決問題？」
這就是我作為一個年輕工程師發現我應該學習一種極其強大的東西，稱為「現代代數」。這也是我將主修從電機工程學改為數學作為研究生主修的原因之一。當然，這是在計算機科學這個稱呼出現之前。
仍在談論思考……悖論和矛盾的重要性。當你能證明一個陳述 S 是正確的，同時又能證明同一個陳述 S 是錯誤的，那麼你就知道你發現了問題所在：某處出了問題。永遠不要低估矛盾的力量。它是我們最有力的知識來源之一。
例子包括說謊者悖論「這個陳述是假的。」及其在集合論和我們對語言的理解中的應用。有可數性和不可數性的明顯悖論。在計算機科學中，有一個明顯的悖論導致了停機問題。物理學中有許多悖論性的材料：量子理論。愛因斯坦-羅森-波多爾斯基悖論。相對論性加速的雙生子。物質的波動和粒子性質。
這裡有一個關於我目前工作的附帶說明，也基於悖論：我個人對意識悖論感興趣。比較以下兩種觀點：1. 人類是機制的觀點，一個具有實質但有限內部記憶的自動機，像任何計算機一樣被編程來做它所做的一切，和/或 2. 人類是一個有思想的觀察性生物，擁有上帝般的自由意志；它是一個意識實體，控制著一個高度複雜、高度能力的機制，從其下方龐大的潛意識提供的/來自的選項中選擇要做什麼。
在我看來，這兩種觀點都是正確的。怎麼會這樣？
在他的《約翰遜傳》中，James Boswell 引用 Samuel Johnson 的話說：「所有理論都反對自由意志；所有經驗都支持自由意志。」約翰遜 18 歲時，牛頓（85 歲）被埋葬。約翰遜知道 F=MA 暗示人類是機制。
「所有理論都反對自由意志；所有經驗都支持自由意志。」
為自己列一個追求問題的好方法。我個人最喜歡的方法是嘗試小例子。相比之下，DAVID GRIES 最喜歡的方法是將自己置於（假設的）解決方案的中心。一個例子是他的咖啡罐問題：給定一個裝有黑白咖啡豆的罐子，執行以下操作：取出兩顆豆子：如果兩顆豆子顏色相同，則將它們替換為一顆白豆。如果兩顆豆子顏色不同，則將它們替換為一顆黑豆。最後剩下的是什麼顏色的豆子？
或者嘗試兩種方法處理赫氏巧克力棒問題 [給出一個將 mxn 赫氏巧克力棒分成 1x1 塊的最佳演算法。在每一步，你可以選擇一塊單獨的巧克力，並沿著其垂直或水平線裂開。一次裂開算一步。你的目標是盡可能少地裂開]
大腦是肌肉。透過鍛煉會變得強壯。即使它們強壯，如果沒有鍛煉也會變得虛弱。在卡斯帕羅夫輸給深藍的幾個月前，他的母親來找他。她擔心他沒有花足夠的時間鍛煉自己（下棋）。她的擔憂被證明是正確的。
博士學位：開始
我記得我曾經在 IVIC（委內瑞拉科學研究所）有一份很棒的暑期工作。一位頂級神經生理學家 Svaetichin 給了我一個絕妙的問題……一個我卻無法解決的問題。問題是如何將光聚焦在金魚視網膜的單個細胞上，以便光線不會溢出到任何相鄰的細胞上。Svaetichin 試圖在一張黑錫紙上打一個小孔，然後將光線透過這個孔照射。這對於中等大小的孔有效，但對於真正小的孔則失敗，因為光線會發散，形成衍射圖案。
由於 Svaetichin 無法解決這個問題，我決定我也無法解決。或者也許我認為他的問題在物理上是無法解決的。回想起來，我應該拿出物理學，特別是光學方面的書籍，盡可能多地閱讀，與他人交談並持續與他交談。如果我讓他知道我正在閱讀、思考和工作，Svaetichin 會幫助我。
不要期望你的論文導師給你一個他或她能回答的問題。當然，她可能會。* 她可能會給你一個她已經知道答案的問題。* 她可能會給你一個她認為可以回答但實際上沒有回答的問題。* 她可能會給你一個極其困難的問題。* 如果她給你的問題足夠難，我建議你尋找一個非標準的答案。在我完成對論文導師的「烹飪」之後，再詳細說明。
你的論文導師可能會鼓勵你在她感到完全自在的領域工作……在這種情況下，你可以依靠她明智的建議和可靠的指導。或者她可能會鼓勵你在她了解很少或一無所知的領域工作，在這種情況下，你將不得不自己去了解一切……你必須從其他教職員工、課程、書籍、期刊、同行那裡學習。兩種導師都可以對你有效。我不知道哪種一定更好。但你應該知道你得到的是哪一種。
無論你做什麼，你都必須喜歡它……你必須非常喜歡它，以至於你願意長時間地思考它、研究它，直到所有人都已經轉向其他方向。
博士學位：深入中期。ANATOLE FRANCE 有一句精彩的引言：「大學生」——這對於博士生來說尤其如此——「應該對萬事略知一二，對一事詳知。」
你知道關於博士的笑話……一個博士對越來越少的事情了解越來越多，直到他對什麼都了解。
在攻讀博士學位時，你必須專注於一個足夠狹窄的主題，以便你能夠完全理解它。起初，你可能會覺得你在研究那句諺語中的針，世界的一小部分，一個微小的晶體，美麗但從宏觀上看，是微觀的。與它一起工作。你工作得越多，滲透得越深，你就會越發看到你的工作，你的主題，包含了整個世界。隨著時間的推移，你將會在你的沙粒中看到世界。
從一粒沙中看見一個世界，或在野花中看見天堂，手中握住無限，小時中握住永恆。WILLIAM BLAKE (1757-1827)
這四句華麗的詩句之後是許多有時深刻有時可疑的格言，我認為它們與博士論文偶爾令人費力的工作相似。
你可以做各種各樣的研究。有證明你已知為真的研究。有研究——也許更好地稱為搜尋——來弄清楚什麼是真的。一些最好的搜尋成功地證明了你最初認為最確定的信念是錯誤的。
例如，據說 Sir Fred Hoyle 在他試圖反駁「大爆炸」理論時創造了這個詞。
對於一個相對較小但個人的例子：當我研究中位數問題時，我的目標是證明任何確定性演算法來尋找 n 個整數的中位數必須進行與排序 n 個整數大致相同的比較次數，即 n log n 次比較。我震驚地發現，n 個整數的中位數可以僅用 O(n) 次比較找到。
在試圖證明某個陳述 S 為真時，你應該至少花一些時間試圖證明它為假。即使它是真的，試圖證明它為假也能提供見解。而且，我們的直覺常常是完全錯誤的。
在研究一個難題時，你可能會發現答案並非如你預期。你可能在尋找「是」或「否」；它可能是別的東西。
幾年前，JOHN HOPCROFT 給了他的一位博士生決定自由布爾形式等價性的問題。具體細節並不重要。這個問題出現在 Garey 和 Johnson 的書中。問題是：等價性問題是 NP 完全的嗎？或者它可以在多項式時間內解決嗎？Chandra、Wegman 和我為這個問題找到了一個隨機化演算法。當時這似乎完全迴避了問題。直到寫出來，我們才真正明白，我們提供了一個高效但隨機化的演算法來解決它。這也表明，如果 NP ≠ RP（隨機化多項式時間），那麼這個問題就不是 NP 完全的，而 RP 似乎是可能的。
當然，這引出了 P = NP 的問題。我們這個時代的問題：NP 完全問題是否可以在多項式時間內解決？今天我說的任何話對 P=NP 這樣難的問題有用嗎？可能沒有。儘管如此……LEONID LEVIN 和我一樣相信，無論 P=NP？問題的答案是什麼，它都不會是你認為它應該有的樣子。他給出了一些精彩的例子。例如，他提供了一個可證明的最佳因式分解演算法，最多相差一個乘法常數。他證明，如果他的演算法是指數級的，那麼任何因式分解演算法都是指數級的。反之，如果任何因式分解演算法是多項式時間的，那麼他的演算法也是多項式時間的。但我們無法確定他的演算法的運行時間，因為從嚴格意義上說，它的運行時間是無法分析的。也許正如 STEVEN RUDICH 所建議的，P=NP？問題在數學的標準形式化中是不可判定的。
重點是，答案可能不在你預期的地方。這是一首我寫的詩，當時我對我們有時必須被拖拽著走向正確方向感到驚訝。它與我們眼睛的盲點進行了比較，盲點實際上並非盲目，而是為我們製造了視覺。它質疑我們的大腦、我們的心靈，是否可能因為其本質而為我們製造了其他事物：
所有人眼中都有盲點，
製造著他們山谷的幻象。
並用大膽無悔的故事，
塑造著光線未被記錄的虛空。
還有哪些盲點塑造著我們的心靈和思想？
還有哪些故事在奇妙的心靈中展開，
誘惑著我們毫無戒備地相信，
進入奇異而不存在的世界？
關於寫作：這是我發現最有幫助和最明智的一句話：
「首先要有話要說，其次說出來，第三說完就停，最後給它一個準確的標題。」JOHN SHAW BILLINGS [1838-1913]
我的建議：不要期望你的論文導師會讀你的論文。有些論文導師可以也確實會給出很好的反饋，但並非所有人都如此。儘管如此，請確保有人閱讀你的論文……我特別建議你徵求同行的意見。
這是另一條我經常給自己和你們的建議……當你將論文寄出去發表，卻被拒絕……不要被那些對你深思熟慮、寫作優美的作品提出的無知、愚蠢的反饋所打擊！要做一個有品德的人（MENSCH）。利用這些反饋來改進你的論文！讓它變得更好。然後再寄出去。
最後，我最真誠的願望是你們應該知道一些關於你們自己真實而令人驚訝的事情……你們每個人都是獨一無二且特別的，以某種輝煌的方式。
我寫了一首詩來捕捉這一點，現在我用它來結束我的佈道。它叫做「基本原理」。
鳥必須翱翔。臭鼬必須發臭。貓必須潛行。人必須思考。
使人與獸區別開來的是他思考的引擎。他的心靈。他的大腦使他獨一無二，並給予他最大的樂趣。
但對於人類來說，思考是基本原理，還有更基本的東西，它不僅支撐著人類，也支撐著所有偉大的野獸，
那就是大自然對我們每個人的呼喚……要與眾不同。要在某方面出類拔萃。要獨一無二。要做某事，做某事，比其他人做得更好。
就像那隻鼻子上長著皮革的黑猩猩，拖著嘈雜的罐子和樹枝，嚇唬同伴以獲得支配地位，
一個人不必聰明絕頂、是個天才，才能與眾不同。才能比任何人/所有人都做得更好。才能無與倫比，一個人只需要選擇一個目標，任何一個對你來說有意義、能激勵你的目標，然後去做。
